PythonでAizu Online Judgeを解く/GRL_1_B - Single Source Shortest Path (Negative Edges)
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概要
重み付きの有向グラフ \(G(V, E)\) が与えられます。頂点 \(r\) を始点としたときの各頂点までの最短経路の長さを出力してください。ただし、グラフは負辺を含む場合があるものとします。
制約
- \(1 \leq |V| \leq 1000\)
- \(0 \leq |E| \leq 2000\)
- \(-10000 \leq d_i \leq 10000\)
- グラフ \(G\) は平行辺を持たない
- グラフ \(G\) は自己ループを持たない
入力
%python def input(f): global v, e, r, s, t, d, g v, e, r = map(int, f.readline().split()) s = [] t = [] d = [] for _ in range(e): s_, t_, d_ = map(int, f.readline().split()) s.append(s_) t.append(t_) d.append(d_) g = [list() for _ in range(v)] for i in range(e): g[s[i]].append(i)
サンプル入力
%sh cat << EOF > /tmp/input1 4 5 0 0 1 2 0 2 3 1 2 -5 1 3 1 2 3 2 EOF cat << EOF > /tmp/input2 4 6 0 0 1 2 0 2 3 1 2 -5 1 3 1 2 3 2 3 1 0 EOF cat << EOF > /tmp/input3 4 5 1 0 1 2 0 2 3 1 2 -5 1 3 1 2 3 2 EOF
Python: 入力をnetworkxで可視化してみる
%sh pip install networkx
Collecting networkx Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/f3/f4/7e20ef40b118478191cec0b58c3192f822cace858c19505c7670961b76b2/networkx-2.2.zip (1.7MB) Collecting decorator>=4.3.0 (from networkx) Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/bc/bb/a24838832ba35baf52f32ab1a49b906b5f82fb7c76b2f6a7e35e140bac30/decorator-4.3.0-py2.py3-none-any.whl Building wheels for collected packages: networkx Running setup.py bdist_wheel for networkx: started Running setup.py bdist_wheel for networkx: finished with status 'done' Stored in directory: /root/.cache/pip/wheels/68/f8/29/b53346a112a07d30a5a84d53f19aeadaa1a474897c0423af91 Successfully built networkx Installing collected packages: decorator, networkx Successfully installed decorator-4.3.0 networkx-2.2 You are using pip version 9.0.1, however version 18.1 is available. You should consider upgrading via the 'pip install --upgrade pip' command.
%python import os if os.environ.get('ZEPPELIN_HOME'): import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt def visualize(): G = nx.MultiDiGraph() for i in range(v): G.add_node(i, node_color='b') for i in range(e): G.add_edge(s[i], t[i], t=d[i]) plt.figure() plt.style.use('seaborn') plt.axis("off") pos = nx.spring_layout(G) nodes_without_r = [i for i in range(v)] nodes_without_r.remove(r) nodes = nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=nodes_without_r, node_color='w', linewidths=2) nodes.set_edgecolor('black') nodes = nx.draw_networkx_nodes(G, pos, nodelist=[r], node_color='red', linewidths=2) nodes.set_edgecolor('black') nx.draw_networkx_labels(G, pos) nx.draw_networkx_edges(G, pos) nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos) plt.show()
%python if os.environ.get('ZEPPELIN_HOME'): with open('/tmp/input1') as f: print('Example #1') input(f) visualize()
Example #1
この場合は各頂点について最短経路を求めることができます。
%python if os.environ.get('ZEPPELIN_HOME'): with open('/tmp/input2') as f: print('Example #2') input(f) visualize()
Example #2
この場合は、0 => 1 => 2 => 3 => 1 => ...
のように辿り続けることでコストを下げ続けることができるので最短経路は求まりません。
%python if os.environ.get('ZEPPELIN_HOME'): with open('/tmp/input3') as f: print('Example #3') input(f) visualize()
Example #3
頂点1から0に移動することはできません。
考え方
Bellman–Ford Algorithm
GRL_1_Aと同じ問題にみえますが今回はグラフが負辺を含むため前回のやり方では無限ループに陥ってしまうことがあります(例: 負の閉路が存在する場合)。このようなグラフで最短経路を求めるには1950年代に考案された Bellman–Ford 法と呼ばれるアプローチを利用すると良いそうです。
このアルゴリズムでは頂点の回数だけ最小コストの更新処理を繰り返し、途中で最小コストの更新が発生しなくなったら答えが求まっているものとし、そうでなければグラフは負閉路を含んでいて無限に更新を続けることができるものとして扱います。これにより \(\mathcal{O}(|V| \cdot |E|)\) 程度の計算量で最短経路を求めることができます。
実装
%python import sys def init(): global inf, mincost inf = sys.maxint mincost = [inf]*v mincost[r] = 0 def update(): updated = False for i in range(e): if mincost[s[i]] is not inf: c = mincost[s[i]] + d[i] if mincost[t[i]] > c: mincost[t[i]] = c updated = True return updated def solve(): init() flag = True for i in range(v): if not update(): flag = False break if flag: print('NEGATIVE CYCLE') else: for x in mincost: if x is inf: print('INF') else: print(x)
Example Output #1
%python if os.environ.get('ZEPPELIN_HOME'): os.environ['INPUT'] = '/tmp/input1' with open(os.environ.get('INPUT') or '/dev/stdin') as f: input(f) solve()
0 2 -3 -1
Example Output #2
%python if os.environ.get('ZEPPELIN_HOME'): os.environ['INPUT'] = '/tmp/input2' with open(os.environ.get('INPUT') or '/dev/stdin') as f: input(f) solve()
NEGATIVE CYCLE
Example Output #3
%python if os.environ.get('ZEPPELIN_HOME'): os.environ['INPUT'] = '/tmp/input3' with open(os.environ.get('INPUT') or '/dev/stdin') as f: input(f) solve()
INF 0 -5 -3
%sh # apt install -y jq # ~/.aoj/bin/login curl -s http://localhost:8080/api/notebook/2DTBQV2DF | \ jq -c -r '.body.paragraphs[].text | select(.|test("^%python"))' | \ sed 's/^%python//' | \ ~/.aoj/bin/submit GRL_1_B Python /dev/stdin exit 1
{"token": "081a5b07-4844-4613-a96f-2a7972090729"}
もうずっと Warshall–Floyd とか Bellman–Ford とか個人名だと思ってたんですが、改めて調べてみると両者とも2名の代表的な考案者にちなんだ名前のアルゴリズムだったみたいです……。ワーシャル・フロイドさんは存在しないっぽい(探したら居そうだけどな)。
%md